Parallellogram

Definition och grundläggande egenskaper

En parallellogram definieras som en enkel fyrhörning, det vill säga en som inte skär sig själv, där två par av motstående sidor är parallella. Denna definition leder direkt till flera viktiga egenskaper. Motstående sidor i en parallellogram är inte bara parallella utan också lika långa. På samma sätt är motstående vinklar i figuren lika stora. Dessa fakta är en direkt konsekvens av det euklidiska parallellpostulatet och kan inte bevisas utan att förlita sig på det eller någon av dess ekvivalenta formuleringar. Ytterligare en grundläggande egenskap är att diagonalernas skärningspunkt sammanfaller med diagonalernas mittpunkter, vilket innebär att diagonalerna delar varandra mitt itu.

En annan intressant egenskap är att varje diagonal delar parallellogrammen i två kongruenta trianglar, det vill säga trianglar som är identiska i form och storlek. Summan av vinklarna som ligger intill varandra, de så kallade angränsande vinklarna, är alltid 180 grader, vilket gör dem supplementära. Parallellogrammen har också rotationssymmetri av ordning 2, vilket betyder att den ser likadan ut efter en rotation på 180 grader runt sin mittpunkt. För en kvadrat, som är ett specialfall, är rotationssymmetrin av ordning 4.

Area och omkrets

Arean av en parallellogram kan beräknas på flera sätt, vilket gör den till en flexibel figur vid problemlösning. Den mest kända formeln är att arean är lika med basens längd multiplicerat med den vinkelräta höjden till den motstående sidan, vilket skrivs som A = b × h. Denna formel kan härledas genom att dela upp parallellogrammen i en triangel och en trapets och sedan omarrangera dem till en rektangel med samma bas och höjd. En alternativ formel använder längden på två intilliggande sidor, a och b, och sinus för vinkeln α mellan dem: A = a × b × sin α.

Omkretsen, eller den totala sidlängden, för en parallellogram är relativt enkel att beräkna. Eftersom motstående sidor är lika långa, ges omkretsen av formeln O = 2a + 2b, vilket ofta skrivs som O = 2(a + b). Det finns också ett viktigt samband mellan sidorna och diagonalerna, kallat parallellogramlagen. Lagen säger att summan av kvadraterna på sidorna är lika med summan av kvadraterna på diagonalerna: 2a² + 2b² = d₁² + d₂², där d₁ och d₂ är diagonalernas längder.

Karakteriseringar och test

Det finns många olika sätt att avgöra om en given fyrhörning är en parallellogram. För en enkel fyrhörning räcker det att något av följande villkor är uppfyllt för att den ska vara en parallellogram. Det mest uppenbara är definitionen själv: att två par av motstående sidor är parallella. Ett annat test är att två par av motstående sidor är lika långa. Man kan också kontrollera om två par av motstående vinklar är lika stora eller om diagonalerna delar varandra mitt itu.

Ytterligare karakteriseringar inkluderar om ett par av motstående sidor är både parallella och lika långa. En annan egenskap är att summan av kvadraterna på sidorna är lika med summan av kvadraterna på diagonalerna, vilket är parallellogramlagen. Det finns också ett intressant geometriskt kriterium: det finns en punkt X i parallellogrammens plan sådan att varje rät linje genom X delar figuren i två områden med lika stor area. Alla dessa påståenden är ekvivalenta. Om ett av dem är sant i en enkel fyrhörning, så är den en parallellogram.

Specialfall av parallellogrammer

Parallellogrammen omfattar flera välkända geometriska figurer som specialfall. Ett rektangel är en parallellogram där alla fyra vinklarna är räta, det vill säga 90 grader. En romb, eller rombe, är en parallellogram där alla fyra sidorna är lika långa. En kvadrat kombinerar dessa egenskaper och är en parallellogram med både lika långa sidor och räta vinklar, vilket gör den till den mest symmetriska figuren i gruppen. En fyrhörning som är en parallellogram men som varken har räta vinklar (och därmed inte är en rektangel) eller lika långa sidor (och därmed inte är en romb) kallas historiskt för en romboid. Termen romboid används sällan i modern matematik men lever kvar i vissa sammanhang, som i biologin i namn på muskler (till exempel den romboidea muskeln) eller bladformer. Dessa specialfall illustrerar bredden inom familjen av parallellogrammer.

Ytterligare geometriska egenskaper

Bortom de grundläggande egenskaperna har parallellogrammer flera intressanta geometriska karaktäristikor. Arean av en parallellogram är exakt dubbelt så stor som arean av en triangel som skapas av en av dess diagonaler. Varje linje som går genom mittpunkten av en parallellogram delar dess area i två lika stora delar. De fyra mittpunkterna på sidorna i en parallellogram bildar själva en ny parallellogram. Centrum för fyra kvadrater, konstruerade antingen inuti eller utanför sidorna på en parallellogram, bildar hörnen på en ny kvadrat. Om två linjer parallella med sidorna i en parallellogram dras så att de möts i en diagonal, så är parallellogrammerna som bildas på motsatta sidor om den diagonalen lika stora i area. Diagonalerna i en parallellogram delar den i fyra trianglar som alla har exakt samma area.

Terminologi och historik

Ordet parallellogram har sitt ursprung i det grekiska ordet 'parallelló-grammon', som bokstavligen betyder 'en form av parallella linjer'. Detta namn speglar själva kärnan i figurens definition. På svenska har ordet historiskt räknats som utrum, det vill säga 'en parallellogram', men även neutrum, 'ett parallellogram', förekommer. Inom den tredimensionella geometrin är motsvarigheten till en parallellogram en parallellepiped, vilket är en volym med sex parallellogram som sidor. Parallellogrammen är ett specialfall av en bredare klass av figurer som kallas parallelltrapets. I amerikansk engelska definieras ett parallelltrapets som en fyrhörning med minst ett par parallella sidor, medan den brittiska engelskan använder termen trapezium för samma sak. Parallellogrammen, med sina två par parallella sidor, uppfyller således detta krav med råge.

Vanliga frågor om Parallellogram

Vad är en parallellogram?

En parallellogram är en plan, fyrhörnig geometrisk figur där båda paren av motstående sidor är parallella. Det är en enkel fyrhörning, vilket innebär att den inte skär sig själv. På grund av denna definition har den flera karakteristiska egenskaper: motstående sidor är inte bara parallella utan också lika långa, och motstående vinklar är lika stora. Figuren ingår i en större familj av geometriska former och är grundläggande inom området euklidisk geometri. Dess motsvarighet i tre dimensioner kallas en parallellepiped.

Hur räknar man ut arean på en parallellogram?

Arean av en parallellogram kan beräknas med flera formler. Den vanligaste är att multiplicera längden på en sida (basen) med det vinkelräta avståndet (höjden) till den motstående sidan, uttryckt som A = b × h. En annan användbar formel använder längden på två intilliggande sidor, a och b, och sinus för vinkeln α mellan dem: A = a × b × sin α. Arean kan också ses som dubbelt så stor som arean av en triangel som bildas av en diagonal. Dessa metoder ger alla samma resultat och väljs beroende på vilken information som är tillgänglig. Arean av en parallellogram är också lika med storleken av vektorprodukten mellan två intilliggande sidor.

Vilka är de vanligaste typerna av parallellogrammer?

De mest kända typerna av parallellogrammer är rektanglar, kvadrater och romber. En rektangel är en parallellogram med fyra räta vinklar. En romb är en parallellogram där alla fyra sidorna är lika långa. En kvadrat är ett specialfall som kombinerar båda dessa egenskaper: den har lika långa sidor och räta vinklar. En fyrhörning som är en parallellogram men som varken är en rektangel (har inte räta vinklar) eller en romb (har inte lika långa sidor) kallas historiskt för en romboid. Termen romboid används sällan i modern matematik men finns kvar inom vissa områden som biologin.

Vad är parallellogramlagen?

Parallellogramlagen är ett viktigt samband mellan sidorna och diagonalerna i en parallellogram. Lagen säger att summan av kvadraterna på sidorna är lika med summan av kvadraterna på diagonalerna. Matematiskt uttrycks detta som 2a² + 2b² = d₁² + d₂², där a och b är längderna på två intilliggande sidor, och d₁ och d₂ är längderna på de två diagonalerna. Denna lag är en av många karakteriseringar av en parallellogram och kan användas för att bevisa att en fyrhörning är just en parallellogram. Lagen är en direkt konsekvens av figurens grundläggande egenskaper och dess geometri.

Hur kan man avgöra om en fyrhörning är en parallellogram?

Det finns många sätt att testa om en fyrhörning är en parallellogram. Det enklaste är att kontrollera om båda paren av motstående sidor är parallella, vilket är själva definitionen. Andra metoder inkluderar att kontrollera om motstående sidor är lika långa, om motstående vinklar är lika stora, eller om diagonalerna delar varandra mitt itu. Ett annat effektivt test är att se om ett par av motstående sidor är både parallella och lika långa. Om något av dessa villkor är uppfyllt för en enkel fyrhörning, så är den en parallellogram. Ytterligare ett test är att kontrollera om summan av kvadraterna på sidorna är lika med summan av kvadraterna på diagonalerna.

Vad är skillnaden mellan en parallellogram och ett parallelltrapets?

En parallellogram är ett specialfall av ett parallelltrapets. Definitionen av ett parallelltrapets (eller trapezium på brittisk engelska) är en fyrhörning som har minst ett par parallella sidor. Eftersom en parallellogram har två par parallella sidor uppfyller den alltså detta krav och är därmed en specifik typ av parallelltrapets. Med andra ord är alla parallellogrammer också parallelltrapetser, men inte alla parallelltrapetser är parallellogrammer, eftersom de bara behöver ha ett par parallella sidor. Den tredimensionella motsvarigheten till en parallellogram är en parallellepiped, medan ett parallelltrapets förblir en tvådimensionell figur.

Källor: Wikipedia (sv), Wikipedia (en). Senast uppdaterad 2026-10-17.